ПОХИБКИ ОБЧИСЛЕНЬ
Є декілька джерел похибок обчислень:
-
похибки вхідних даних і спрощення моделей компонентів;
-
округлення під час обчислень, локальні відсікання;
-
похибки зображень чисел у комп’ютері.
Розрізняють також глобальну похибку, як різницю точного і обчисленого значень, і локальну похибку, як похибку методу в основному обумовлену відсіканням частини ряду Тейлора, тому обмежену значенням першого неврахованого члену цього ряду.
Нехай а – точне значення величини, ã – наближене значення цієї величини, тоді:
ε = |а - ã| – абсолютна похибка; Δ(ã) – абсолютна похибка наближеного значення.
δ(ã) = ε / |а| – відносна похибка.
Під час виконання арифметичних операцій похибки обчислень тільки накопичуються, незалежно від типу операції, що виконується:
Похибки в разі обчислення функції y=f(x) залежно від похибки аргументу Δx=x-x0 оцінюються відсіканням частини ряду Тейлора. В результаті одержуємо оцінку абсолютної похибки, як
Δ(f(x))=|f’(x0)|Δx і відносної похибки, як δ[f(x0)]=|f’(x)/f(x0)|Δx. Для функції багатьох аргументів y=f(x1,x2,…, xn) формула максимальної абсолютної похибки така:
Наприклад, потрібно обчислити і визначити похибки результату.
Дано
Знаходимо
Підставляємо у формулу для x:
Знаходимо відносну похибку:
Відповідь:
Завдання 2.
Обчислити і визначити похибки результату.
Маємо:
Знаходимо N:
Відповідь:
Обумовленість конкретного алгоритму CA (тобто залежність максимально можливого відхилення результату від похибок вхідних даних) характеризує процес накопичення похибок під час обчислень. Існують задачі прямого аналізу похибок, коли відомі збурені вхідні дані та вихідні дані, оброблені за деяким точним алгоритмом, і задача оберненого аналізу похибок. Наприклад, оцінити похибку обчислення функції за збурених аргументів
За формулою (*):
Для зменшення похибок можна використовувати більшу кількість значущих розрядів або змінювати послідовність обчислень.
Для зменшення обумовленості задачі необхідно змінювати форму зображення вхідних і вихідних величин математичної задачі.
Під час реалізації практичних обчислень зазвичай загально задана похибка розподіляється по кроках обчислень, а потім на кожному кроці здійснюється контроль похибки за локальною оцінкою, оскільки точні значення глобальної похибки невідомі.
Тому в процедурах чисельних методів виділяють три рівноправні частини:
1) обчислення наближення розв’язку за рекурсивною формулою вибраного алгоритму;
2) оцінювання похибки;
3) управління продовженням розв’язування задачі.
Це управління може зводитися до зміни кроку приросту аргументів наявної задачі функціональної залежності (зокрема часового кроку), заміни формули обчислення наближення розв’язку, зміни значень загальної заданої похибки розв’язку і допустимої кількості ітерацій.
За всіх інших умов найкращим буде розв’язок, отриманий у результаті виконання меншої кількості ітерацій.
Похибки у вхідних даних задачі – неусувні. Обчислювач не може їх змінити, але повинен знати, як вони впливають на точність кінцевого результату. Чутливість задачі до неточностей у вхідних даних характеризується поняттям стійкості. Задача називається стійкою за вхідними даними, якщо її розв’язок неперервно залежить від вхідних даних, тобто малі похибки вхідних даних спричиняють малі похибки розв’язку задачі. Якщо ця умова не виконується, то задача вважається нестійкою за вхідними даними.
Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв’язок. Для розв’язання некоректно поставлених задач застосовувати класичні чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зростати і призвести до результату, далекого від шуканого розв’язку. Для розв’язання некоректно поставлених задач використовують так звані методи регуляризації, які замінюють дану задачу коректно поставленою.