ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ.
Розв’язати задачу інтегрування означає обчислити визначений інтеграл для деякої функції f(x) на заданому інтервалі [a,b]:
Якщо функція f(x) неперервна на інтервалі [a,b] і відома її первісна функція F(x), то можна аналітично знайти інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:
Але у багатьох випадках первісну функцію F(x) не можна знайти аналітично або f(x) є занадто складною, що ускладнює обчислення інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца або воно взагалі стає неможливим.
Часто на практиці підінтегральна функція f(x) задається таблично, що також унеможливлює використання аналітичних методів.
У всіх перерахованих випадках для обчислення інтеграла використовують чисельні методи.
Традиційний підхід полягає в тому, що функцію f(x) на відрізку [a,b] замінюють інтерполяційною функцією φ(x), наприклад, поліномом Лагранжа або Ньютона, а потім приймають:
R(x) – деяка похибка формули інтегрування.
У цьому випадку функція φ(x) має бути такою, щоб інтеграл можна було обчислити безпосередньо.
Якщо функція f(x) задано аналітично, то наближено обчислити визначений інтеграл можна заміною інтеграла скінченою сумою.
При цьому відрізок інтегрування [a,b] розбивається на n однакових частин з кроком h = (b-a) / n.
У вузлах xi= a+ih,i=0,1,...,n знаходяться значення підінтегральної функції f(x),i=0,1,...,n і шукана площа (значення інтеграла) обчислюється як:
cі – задані числові коефіцієнти.
Наближена рівність (*):
називається квадратурною формулою, а cі – коефіцієнтами квадратурної формули.
Обчислення визначених інтегралів за формулами прямокутників та трапецій
Розглянемо обчислення інтегралів за формулами лівих та правих прямокутників; за формулою середніх прямокутників та за формулою трапецій.
Розглянемо приклад на перші два способи (формулу лівих і формулу правих прямокутників паралельно).
Для обчислення за формулами лівих і правих прямокутників при n=10 (на скільки відрізків розбиваємо [а;в] ) ділимо відрізок інтегрування на 10 частин з кроком h=(b-a)/n=(2,3-1,5)/10=0.08.
Складаємо таблицю значень підінтегральної функції в точках поділу відрізку:
Шуканий визначений інтеграл – це сума площ лівих прямокутників. Площа одного прямокутника дорівнює h*уі . Отже,
За значеннями таблиці
Для правих прямокутників:
За кінцевий остаточний результат беруть середнє значення цих інтегралів:
Розглянемо приклад на середні прямокутники:
Обчислити:
Для розв’язку використовують формулу середніх прямокутників:
n=10, h=(1,2-0,4)/10=0,08
Метод трапецій
Нехай
Візьмемо n=20.
h=(b-a)/n=(1,3-0,7)/20=0,03.
Виведемо формулу для трапецій.
Площа трапеції дорівнює півсумі основ помноженій на h.
В нашому випадку основами є уі. Тоді:
Отже,
y0 + y20 = 1,40515
Таким чином: І=0,03(1,40515/2+12,77022)=0,40418.
Метод Сімпсона
Для обчислення інтеграла на частковому відрізку [xi - h; xi +h] замінимо функцію f(x) параболою, що проходить через точки (xi+jh; f(xi+jh)), j=-1,0,1.
На частковому відрізку [x0, x2] метод Сімпсона зображається так:
Зобразимо функцію f(x) наближено за допомогою інтерполяційного многочлена
де L2,i(x) – інтерполяційний поліном 2-степеня.
Тоді
Ця формула називається формулою Сімпсона або формулою парабол. Узагальнена формула Сімпсона має вигляд:
Похибка узагальненої формули Сімпсона на всьому інтервалі має таку оцінку:
Формула Сімпсона значно точніша за формули прямокутників та трапецій. Вона може бути застосована для рівномірно розташованих вузлів у випадку парної кількості підінтервалів n і непарної кількості вузлів.
Для непарної кількості підінтервалів і парної кількості вузлів застосовується модифікація формули Сімпсона, відома як друга формула Сімпсона:
яку отримують за аналогією з попередньою, використовуючи інтерполяційний поліном Лагранжа третього порядку.
Вона характеризується похибкою:
Розглянемо приклад на метод Сімпсона.
Нехай потрібно обчислити інтеграл за формулою Сімпсона при n=8, оцінити похибку результату, склавши таблицю скінчених різниць
Знаходимо h: h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.
Обчислення значень функції, а також додавання значень функції, які мають однакові коефіцієнти у формулі, робимо в такій таблиці:
Отже,
Для оцінки точності одержаного результату складаємо таблицю скінчених різниць функцій до четвертого порядку.
Оскільки обчислення проводилося з чотирма значущими цифрами, то величина залишкового члена на похибку не впливає.
Похибку обчислень оцінюємо із співвідношенням:
ΔI=(b-a)Δy≤0,4*0,0001<0,00005.
Отже, одержані чотири десяткові знаки вірні.
Практичні способи оцінювання похибки інтегрування.
Оцінювати значення похибки можна різними способами, наприклад:
1. За залишковим членом
Якщо під час обчислення залишкового члена виникають труднощі з визначенням максимуму похідної (підінтегральна функція складна чи задана таблично), доцільно застосовувати наближенні формули для похибок, виражені через скінчені різниці:
Для цього за табличними значеннями складається таблиця скінчених різниць певного порядку, з якої отримують максимальне за модулем значення відповідної різниці:
2. За правилом Рунге. Нехай Jh і Jh/2 наближенні значення інтеграла за однією з формул з кроками h і h/2 відповідно. Тоді абсолютна похибка інтегрування наближено обчислюється за таким правилом:
k – порядок залишкового члена формули інтегрування (для формули трапецій k=2, для формули Сімпсона k=4).
3.Екстраполяцією за Річардсоном.
Можна знайти уточнене за Річардсоном значення інтеграла із похибкою 0(h²ᵏ).
Вибір кроку інтегрування.
Завдання полягає у визначенні кроку h, що забезпечує задану точність ε обчислення інтеграла за обраною формулою.
Існують два основні способи задавання допустимого значення кроку.
1. За залишковим членом.
Використовуючи формулу відповідного залишкового члена R(x) вибирають h таким, щоб виконувалася нерівність |R(x)|<ε/2.
Потім з отриманим кроком обчислюють інтеграл за квадратурною формулою.
Обчислення треба робити з таким числом цифр, щоб похибка заокруглення не перевищувала ε.
2. Послідовним подвоєнням числа кроків.
Обчислюють інтеграл за обраною квадратурною формулою двічі: спочатку з деяким кроком h, потім з кроком h/2, тобто подвоюють кількість n.
Якщо θ|Jh-Jh/2|<ε, то приймають Jh≈Jh/2.
Якщо виявляється, що ця умова не виконується, то розрахунок повторюють з кроком h/4. Як початковий крок іноді доцільно брати число, близьке до
Квадратура Гаусса або метод невизначених коефіцієнтів.
У розглянутих методах обчислення інтеграла проводилося за значенням функції f(xi) у попередньо заданих вузлах.
І побудова методів полягала у знаходженні коефіцієнтів ci квадратурної формули. У методі квадратури Гаусса передбачається вибір таких коефіцієнтів ci квадратурної формули ci і значень xi на інтервалі [a,b], які забезпечують оцінювання інтеграла з найвищою точністю.
Ці величини визначаються за умови, що квадратурна формула (*) повинна бути точною для всіх
Почнемо з найпростішого випадку оптимального вибору двох значень x0 і x1 на інтервалі [-1;1] так, щоб на цьому інтервалі точно оцінювалися інтеграли від постійної, лінійної, параболічної та кубічної функцій.
Запишемо відповідні рівняння:
Звідси c0 = c1 = 1.
Отже, оцінка інтеграла обчислюється за формулою:
Аналогічно виводяться співвідношення для більшої кількості точок на інтервалі [-1;1].
Висновки
1. Методи апроксимації інтегралів застосовуються у випадках, коли неперервна функція настільки складна, що безпосереднє використання аналітичних методів ускладнене чи навіть неможливе.
2. Чисельний підхід використовують і в тому випадку, коли сама функція задана в дискретній формі масивом своїх значень для обраних значень аргументів.
3. Використовують різні методи інтегрування. Кожен з них має різний порядок точності.
4. Найбільшу точність оцінки інтеграла забезпечує метод квадратури Гаусса, але він передбачає вибір спеціально нерівномірно розташованих точок відліку.
5. Підвищення точності чисельного інтегрування можна досягти або багаторазовим застосуванням формул інтегрування і розбиттям інтервалу інтегрування на підінтервали з використанням великого масиву значень функції або застосуванням екстраполяції Річардсона.