ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЇ
Під час розв’язування багатьох обчислювальних задач на практиці часто доводиться замінювати одну функцію f(x) (відому, невідому або частково відому) близькою до неї деякою функцією φ(x), яка має визначені властивості.
Наприклад, якщо f(x) задана таблицею значень f(x0), f(x1),..., f(xn),для деякої кінцевої множини аргументів xi і в процесі розв’язування задачі необхідно використовувати значення f(x) для проміжкових значень аргументу, функцію φ(x) будують таким чином, щоб у заданих точках x0, x1,...,xn вона приймала значення, що збігаються зі значеннями f(x0), f(x1),..., f(xn), а в інших точках відрізка [a,b], що належить області визначення f(x), наближено зображала функцію f(x) з тим чи іншим ступенем точності.
Тоді під час розв’язування задачі замість функції f(x) використовують функцію φ(x).
Задача побудови функції φ(x) називається задачею наближення.
Найчастіше функцію φ(x), якою оперують під час наближення, будують у вигляді многочлена.
Такий спосіб наближення базується на теоремі Вейєрштрасса про наближення неперервної функції f(x) на заданому відрізку за допомогою поліномів (функція f(x) може бути досить добре наближена за допомогою полінома деякого порядку m на множині точок x0, x1,...,xn).
У цьому випадку функції виду φ(x)=c0φ0(x)+c1φ1(x)+...+cmφm(x) називають узагальненими поліномами (узагальненими многочленами) порядку m, де c0,c1,...,cm – деякі постійні коефіцієнти.
Функцію f(x) і поліном φ(x) вважають наближеними, якщо вони збігаються на заданій системі точок x0,x1,...,xn. Ці точки називаються вузлами інтерполяції.
Якщо f(x) i φ(x) – диференційовні функції, то іноді у постановці задачі наближення вимагають і збігу у вузлах інтерполяції похідних f(x) i φ(x) деяких порядків.
На практиці за базисні функції {φi(x)} часто беруть послідовність степеневих функцій відносно x:
1,x¹,x²,…,x ͫ тобто φ0(x)=1,φ1(x)=x,…,φm(x)=x ͫ .
Тоді маємо звичайний поліном степеня m:
φ(x)=c0+c1x+c1x²+...+cmx ͫ . (1)
Для знаходження коефіцієнтів ci, i=0,1,2,...,m використовують умову: φ(xj)=f(xj) j=0,1,...n.
Сформуємо систему з (n+1) лінійних алгебраїчних рівнянь на множині точок x0,x1,...,xn :
Якщо n=m, то система рівнянь (2) має єдиний розв’язок у випадку, коли вектори φi(xj), i,j=0,1,...,n лінійно незалежні.
Така задача наближена називається задачею інтерполяції.
Якщо m<n, то система рівнянь може бути розв’язана методом найменших квадратів.
Якщо m=n, і базисні функції {φi(x)} мають вигляд поліномів (1), коефіцієнти сі можуть обчислюватися за допомогою такої системи рівнянь:
Визначник цієї системи називається визначником Вандермонда.
Визначник (4) відмінний від нуля, якщо серед сукупності вузлів немає таких, що збігаються, отже, матриця системи (3) є невиродженою і система має єдиний розв’язок.
Іноді в якості {φi(x)} береться нерівність показникових функцій:
де {аі} – деяка числова нерівність попарно різних дійсних чисел.
Тоді:
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Виходячи з однозначності інтерполяційного многочленна φ(x), можна побудувати поліном, коефіцієнти якого визначаються з системи (3).
Позначимо задані значення f(xi)=yi.
Оскільки шуканий поліном φ(x) повинен приймати в заданих вузлах x0, x1, ..., xn значення, що збігаються зі значеннями f(x0), f(x1),..,f(xn), можна записати φ(x)у вигляді:
де φі(x)– многочлен степеня n, який у вузлах інтерполяції задовольняє такі умови:
Даний варіант запису многочленна φ(x) називається інтерполяційним поліномом Лагранжа.
Для пошуку φj(x) знаходять многочлен степеня n, що перетворюється на нуль у вузлах інтерполяції xi=(0,1,2,...,j-1,j+1,n) і дорівнює 1 у точці xj.
Многочлен, що задовольняє ці умови, може бути записаний у вигляді:
Якщо у виразі (6) φj(x) знайдені за вказаним вище способом, то інтерполяційний многочлен (6) називається інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Позначається Ln(x). Явно записується так:
Задача інтерполяції значно спрощується, якщо значення xi є рівновіддаленими, тобто xi=xi+ih (i=1,2,...,n), тоді можна ввести позначення: (x-x0)/h=t і інтерполяційний поліном буде мати вигляд:
Тут коефіцієнти перед знаком суми не залежать ні від значень функції f(x), ні від відстані між вузлами інтерполяції h. Їх називають коефіцієнтами Лагранжа.
Різницю між функцією f(x) та її інтерполяційним наближенням Ln(x) називають залишковим членом інтерполяційної формули або похибкою інтерполяції rn(x)=f(x)-Ln(x).
Схема знаходження інтерполяційної формули Лагранжа.
При обчислені коефіцієнтів Лагранжа різниці зручно розмістити таким чином:
Якщо позначити добуток елементів рядків через Dj (j=0,1,...,n), а добуток елементів головної діагоналі через Пn+1(x), то одержимо формулу:
У випадку рівновіддалених вузлів формула Лагранжа приймає вид:
де t=(x-x0)/h, h=xj+1-xj (j=0,1,2,…, n).
Для оцінки похибки інтерполяційної формули Лагранжа використовується співвідношення:
