ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.
Розглянемо деякі методи чисельного розв’язку рівнянь виду: f(z)=0, де f(z) – задана функція дійсного або комплексного аргументу z; f(z) може бути многочленом степені n від z, тобто чисельні методи розв’язування алгебраїчних рівнянь вищих порядків і трансцендентних рівнянь.
Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень з деякого проміжку, при яких дане рівняння перетвориться в тотожність.
Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня n≥5 і трансцендентних рівнянь не існує. Крім того, розв’язуючи практичні задачі, часто одержують рівняння з коефіцієнтами, які є наближеними числами. Тоді постановка задачі знаходження точних коренів не має змісту. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю.
Нехай х* – точний корінь, а х - його наближене значення. Кажуть, що корінь х обчислено з наперед заданою точністю ε, якщо /х*- х/<ε.
При знаходженні наближених значень коренів цього рівняння треба розв’язувати дві задачі:
1) відокремлення коренів, тобто відшукання достатньо малих областей, в кожній з яких міститься один і тільки один корінь рівняння (вказати межі, де знаходяться корені.
2) обчислення коренів з заданою точністю (уточнити їх).
Відокремлення коренів
Корінь х* рівняння f(х)=0 вважається відокремленим на відрізку [a,b], якщо х*ϵ[a,b] і на цьому відрізку дане рівняння не має більше коренів.
При розв’язуванні рівняння f(z)=0 перш за все потрібно попередньо вивчити розташування коренів в комплексній площині z і заключити кожен корінь в достатньо малу область, в середині якої не було б інших коренів. Для цього іноді вигідно застосувати графічні методи.
Графічний метод відокремлення коренів
Якщо потрібно знайти тільки дійсні корені рівняння, то для відшукання грубих значень коренів можна побудувати графік функції у=f(x) і знайти абсциси точок перетину графіка з віссю х.
Іноді зручніше представити спочатку рівняння у вигляді: φ(x) = ψ(x).
Потім, побудувавши графіки функцій y = φ(x) i y = ψ(x), знайти абсциси їх точок перетину, які і будуть наближеними значеннями коренів.
Наприклад, якщо потрібно знайти корені рівняння x sinx = 1, то зручніше представити його у вигляді: sin x = 1/x і застосувати вказаний спосіб.
Будуємо графіки функцій y=sinx i y=1/x.
Корені рівняння симетричні відносно x=0. Тому ми можемо розглядати лише додатні корені.
Значення x1, x2 і можливо, ще декілька коренів можна досить точно визначити графічно.
Але на графіку не буде xn для великих значень n.
Але, дивлячись на графік можемо сказати, що значення xn при великих n будуть наближатися до πn.
Ці значення можна уточнити.
Покладаємо xn = πn + εn, де εn – деякі невеликі величини.
Тоді
Оскільки εn є дуже малим, то можна покладати sinεn≈εn; 1/(πn+εn)≈1/πn.
Це дає
і ми одержуємо покращення значень коренів.
Якщо потрібно, то можна продовжити уточнення коренів, покладаючи
Це дає рівняння для визначення εnє'.
Звідки знайдемо εn'.
Цей процес можна продовжити.
Для відшукання комплексних коренів рівняння f(z)=0 можна, покладаючи z=x+iy; представити рівняння у вигляді φ(x,y)=iψ(x,y)=0, де φ(x,y) i ψ(x,y) – дійсні функції дійсних змінних x і y.
Це рівняння еквівалентно системі двох рівнянь φ(x,y)=0, ψ(x,y)=0.
Побудувавши криві φ(x,y)=0, ψ(x,y)=0, одержимо дійсні і уявні частини коренів рівняння f(z)=0 як відповідно абсциси і ординати їх точок перетину.
Є багато спеціально розроблених способів графічного розв’язку рівнянь, які застосовуються до окремих типів рівнянь.
Аналітичний метод відокремлення коренів
Для відокремлення інтервалів, в яких знаходяться дійсні корені рівняння f(x)=0, якщо f(x) – неперервна функція, користуються наступними положеннями.
Якщо на кінцях деякого відрізку неперервна функція приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку рівняння f(x)=0 має хоча б один корінь.
Якщо при цьому f(x) має першу похідну, що не змінює знак, то корінь єдиний.
Нехай f(x) є аналітичною функцією змінної x на відрізку [a,b]. Якщо на кінцях відрізку [a,b] вона приймає значення різних знаків, то між a і b є непарна кількість коренів рівняння f(x)=0.
Якщо ж на кінцях відрізка [a,b] вона приймає значення однакових знаків, то між a і b або немає коренів цього рівняння або їх є парна кількість (враховуючи і кратність коренів).
На практиці використовують наступні теореми з курсу математичного аналізу:
Теорема 1. Якщо функція f(x) неперервна на [a,b] і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто f(а) * f(b)<0, то всередині відрізка [a,b] існує хоча б один корінь рівняння f(x)=0.
Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна і диференційована на [a,b], набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, а похідна f'(x) зберігає сталий знак всередині відрізка [a,b], то рівняння f(x)=0 на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.
У відповідності з даними теоремами алгоритм відокремлення коренів рівняння f(x)=0 можна сформулювати так:
-
Знайти область визначення рівняння.
-
Знайти критичні точки функції f(x).
-
Записати інтервал монотонності функції f(x).
-
Визначити знак функції f(x) на кінцях інтервалів монотонності.
-
Визначити відрізки, на кінцях яких функція f(x) набуває значень протилежних знаків.
-
Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.
Уточнення коренів.
Для уточнення коренів використовують такі основні методи:
-
метод дихотомії (або метод поділу відрізку навпіл);
-
метод дотичних (або метод Ньютона)
-
метод хорд
-
комбінований метод дотичних і хорд.
Метод дихотомії (метод поділу відрізка навпіл.
Метод поділу відрізка навпіл застосовується для уточнення коренів рівняння f(x)=0 з наперед заданою точністю, якщо функція f(x) задовольняє умови теореми 2.
Нехай х*– точне значення кореня рівняння f(x)=0 на відрізку [a,b], а ε – гранична абсолютна похибка. Суть методу полягає в тому, що відрізок [a,b] ділять навпіл точкою с=0,5(a+b) і обчислюють f(с). Якщо f(с)=0, то х=с є точним значенням кореня. Якщо f(с)≠0, але b-a≤2ε, то |х*-с|≤ε і значення х=с буде шуканим наближеним коренем. Якщо f(с)≠0 і b-а>2ε, тоді розглядають той з двох відрізків [a,с] і [b,с], на кінцях якого функція набуває значень протилежних знаків. Позначимо цей відрізок [a1,b1]. На цьому відрізку функція задовольняє умови теореми 2. Далі відрізок [a1,b1] точкою с1= 0,5(a+b) ділять навпіл і міркують так само, як і для відрізка [a,b]. В результаті процесу ділення відрізка [a,b] навпіл одержують послідовність вкладених відрізків [a,b], [a1,b1],…,[an,bn], кожен з яких містить точне значення кореня х*. Для деякого n справедлива нерівність bn-an≤2ε.
Тоді сn = (an +bn)/2 буде наближеним значенням кореня з точністю ε.
Метод дихотомії досить легко реалізовується на ЕОМ, але потребує значного обсягу обчислень.
Метод дотичних
Нехай рівняння f(x)=0 на відрізку [a,b] має ізольований корінь х*, тобто f(а)* f(b)<0, а функції f(x) і f'(x) неперервні і f'(x) зберігає знак на [a,b].
За дослідженням першої та другої похідної функції f(x) будують фрагмент графіку на проміжку локалізації [a,b] (зростаюча чи спадна функція; графік опуклий чи вгнутий). Дотичну проводять до того кінця графіку на проміжку, в якому виконується умова збігу знаку функції та знаку її другої похідної (*). Точка перетину дотичної з віссю Ох і визначає наближення до кореня. Розрахунок за формулою
дає точку перетину дотичної з віссю Ох. Процес побудови дотичних (знаходження послідовності наближень х1, х2, …, хn) продовжується до тих пір, поки не буде досягнута задана точність ізольованого кореня: |xn-xn+1|<ε.
Якщо виконується умова (*) побудови дотичної, процес буде спадним, тоді в якості кореня приймають останнє знайдене наближення.
Він має просту геометричну інтерпретацію.
Формули для практичних обчислень:
Метод хорд
Метод хорд – один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.
Нехай задано рівняння f(x)=0, де f(x) на відрізку [a,b] має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і f(а)*f(b)<0, тобто корінь х* рівняння відокремлений на [a,b].
Ідея методу хорд полягає в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої у=f(x) замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю Ох є наближеним значенням кореня. За формулою:
отримуємо збігаючу послідовність наближень кореня х1, х2, …, хn до заданої точності.
Графічно кінці кривої (a, f(a)), (b, f(b)) з’єднують прямою. Точка перетину прямої з віссю Ох є наближенням кореня.
Формули для практичних обчислень:
Комбінований метод хорд і дотичних
Характерною особливістю методів дотичних і хорд є те, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадна, то послідовність наближень методу дотичних – монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до кореня рівняння з двох боків, отримуючи наближення з недостачею і надлишком.
Розглянемо рівняння f(x)=0, корінь якого х*ϵ[a,b]. За початкове наближення в методі хорд вибирають точку х=а, а в методі дотичних – точку b. На відрізку [a,b] застосовують спочатку метод дотичних, а потім – метод хорд. У результаті одержують нові наближення a1,b1, і початковий відрізок ізоляції кореня звузився. Для знаходження нових наближень застосовують метод дотичних і хорд уже на відрізку [a1,b1]. Такий процес продовжують до тих пір, поки довжина відрізка [ak,bk] не стане меншою або дорівнюватиме величині ε, де ε – наперед задана точність кореня.
Формули для практичних обчислень:
Нехай хn+1 – наближені значення кореня з нестачею, x̅n+1 – наближені значення кореня з надлишком.
