ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ

​

Як відомо, для розв’язання прикладної задачі потрібно використовувати математичну модель.

Під математичною моделлю фізичної системи, об’єкта або процесу розуміють сукупність математичних співвідношень (формул, рівнянь, логічних виразів), які визначають характеристики стану і властивості системи, об’єкта і процесу та їх функціонування залежно від параметрів їх компонентів, початкових умов, вхідних збуджень і часу.

Тобто, математична модель описує функціональну залежність між вихідними залежними змінними, через які відображається функціонування системи, незалежними (такими, як час) і змінюваними змінними (такими, як параметри компонентів, геометричні розміри), а також вхідними збудженнями, прикладеними до системи.

Ця функціональна залежність, що відображається математичною моделлю, може бути явною, чи неявною, тобто може бути зображена або як просте алгебраїчне співвідношення, або як велика за розміром сумісна система диференціально-алгебраїчних рівнянь.

Сучасні комп’ютери дозволяють у багатьох випадках відмовитися від макетування проектованих виробів, замінивши його математичним моделюванням (обчислювальним експериментом), що дуже важливо, коли натурне макетування або дуже складне, або взагалі неможливе (наприклад: макетування прориву дамби або дії смерчу).

Але при цьому має бути підвищена точність математичної моделі об’єктів та систем. В результаті розмірність і складність математичної моделі істотно зростають, а їх розв’язання в аналітичному вигляді стає неможливим.

Таким чином, одержується нова якість одного параметру (велика точність обчислювального експерименту і відмова від натурного макетування) за рахунок зменшення чи ускладнення іншого параметра (відмова від звичних для вищої математики аналітичних рішень).

Для кожної математичної моделі формулюється математична задача.

У загальному випадку, коли функціональні залежності для множини вхідних даних (значення  незалежних та змінюваних змінних і вхідних збуджень), що виступають як множина аргументів, задано неявно, за допомогою математичної моделі необхідно визначити множину вихідних залежних змінних, що виступають як множина значень функції.

При цьому відповідно до виду математичної моделі розрізняють такі базові типи математичних задач:

• розв’язання системи лінійних рівнянь;

• розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь;

• апроксимація масиву даних або складної функції набором стандартних, більш простих функцій;

• чисельне інтегрування і диференціювання;

• розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь;

• розв’язання диференціальних рівнянь в частинних похідних;

• розв’язання інтегральних рівнянь.

Прості математичні задачі малої розмірності, що вивчаються в курсі вищої математики допускають можливість отримання аналітичних рішень. Складні математичні моделі великої розмірності вимагають застосування чисельних методів.

Чисельні методи – це математичний інструментарій, за допомогою якого математична задача формулюється у вигляді, зручному для розв’язання на комп’ютері.

В цьому випадку кажуть про перетворення математичної задачі в обчислювальну.

При цьому послідовність виконання необхідних арифметичних і логічних операцій визначається алгоритмом її розв’язання.

Алгоритм повинен бути рекурсивним і складатися з відносно невеликих блоків, які багаторазово виконуються для різних даних.

Чисельні методи є надзвичайно потужним інструментарієм для розв’язання проблемних задач, що описуються довільними нелінійними диференціально-алгебраїчними рівняннями великої розмірності, для яких на  даний час не існує аналітичних рішень.

Освоївши такі методи, можна набути здібностей до системного аналізу через математичне моделювання найскладніших задач сучасної науки і техніки.

Деякі задачі можна розв’язувати за допомогою програмних пакетів, але деякі – ні.

Але знаючи чисельні методи і володіючи елементарними навичками програмування, можна самостійно провести розробку необхідного алгоритму і програмно його реалізувати.

Вивчення чисельних методів сприяє переосмисленню і більш глибокому           розумінню математики в цілому, оскільки однією з задач чисельних методів є зведення методів вищої математики до виконання простих арифметичних операцій.

Хоч існує безліч чисельних методів, усі вони (як і алгоритми, що їм відповідають) мають багато спільних властивостей і характеристик.

Чисельні методи:

• передбачають проведення великої кількості рутинних арифметичних обчислень за допомогою рекурсивних співвідношень, що використовуються для організації ітерацій, тобто повторюваних циклів обчислень зі зміненими початковими умовами для покращення результату;

• направлені на локальне спрощення задачі, коли, наприклад, деякі нелінійні залежності лінеаризуються за допомогою своїх обчислених похідних або похідні замінюються різницевими апроксимаціями;

• значно залежать від близькості початкового наближення (або декількох наближень), необхідного для початку обчислень до розв’язку від властивостей нелінійних функцій, які використовуються в математичних моделях, що накладає обмеження (для забезпечення єдиного розв’язку) на їх диференційованість, на швидкість зміни функцій та інше.

 

Чисельні методи характеризуються:

• різною швидкістю збіжності, тобто числом ітерацій, виконання яких необхідне для отримання заданої точності розв’язку;

• різною стійкістю, тобто збереженням достовірності розв’язку під час подальших ітерацій;

• різною точністю отримуваного розв’язку в разі виконання однакового числа ітерацій або циклів обчислень.

 

Чисельні методи  розрізняються:

• за широтою і легкістю застосування, тобто за ступенем своєї універсальності та інваріантностідля розв’язання різних математичних задач;

• за складністю їх програмування;

• за можливостями використання у разі їх реалізації наявних бібліотек, функцій і процедур, створених для підтримки різних алгоритмічних мов;

• за ступенем чутливості до погано обумовлених (або некоректних) математичних задач, коли малим змінам вхідних даних можуть відповідати великі зміни розв’язку.