ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
Це обчислення похідних функцій заданих порядків.
Якщо аналітичне зображення вихідної функції невідоме або досить складне, похідні будь-якого порядку можуть бути обчислені на основі наведених нижче формул диференціювання.
Більшість формул чисельного диференціювання можуть бути отримані на основі інтерполяційних поліномів.
Для цього достатньо замінити початкову функцію її інтерполяційним поліномом, а потім обчислити похідні від нього.
Якщо поліном із достатньою точністю наближає вихідну функцію, то і похідні будь-якого порядку від полінома мало відрізняються від похідних функції.
Задача чисельного диференціювання полягає у знаходженні значень похідних функції y = f(x) у заданих точках у випадку, коли аналітичний запис функції f(x) невідомий або дуже складний чи функція задана таблично.
Привабливість чисельного підходу пояснюється наявністю простих залежностей, за допомогою яких похідні в заданих точках можна апроксимувати декількома значеннями функції в цих і близьких до них точках.
Конструювання формул наближеного диференціювання полягає в тому, що функцію f(x) на заданому відрізку [a,b] замінюють відповідною апроксимуючою функцією φ(x), а потім вважають, що похідні від функцій f(x) і φ(x) збігаються, наприклад: f’(x)≈φ’(x), де a≤x≤b.
Аналогічно знаходять похідні вищих порядків від функції f(x).
При цьому апроксимуюча функція φ(x) найчастіше задається у вигляді полінома.
Тоді похідні обчислюються з деякою похибкою.
Якщо R(x) = f(x) - φ(x) – залишковий член, то похибка R'(x) записується як: R'(x) = f'(x) - φ'(x).
Такі ж формули диференціювання можна побудувати і для знаходження похідних вищих порядків:
Таблиця 2. Формули для других похідних.
Таблиця 3. Формули для третіх похідних.
Висновки
1. Методи апроксимації похідних застосовуються у випадках, коли неперервна функція настільки складна, що безпосереднє використання аналітичних методів ускладнене чи навіть неможливе.
Чисельний підхід використовують і в тому випадку, коли сама функція задана в дискретній формі масивом своїх значень для деяких значень аргументів.
2. Похідні зазвичай апроксимуються розділеними різницями і відповідні формули, залежно від числа врахованих членів розкладу в ряд Тейлора, відрізняється похибкою апроксимації.
3. Розрізняють прямі несиметричні формули диференціювання вперед і обернені несиметричні формули диференціювання назад у залежності від розташування точки відліку – ліворуч чи праворуч у ряді значень аргументів xi, xi-1, xi-2,..., чи xi, xi+1, xi+2,..., для яких обчислюються значення функції, що беруть участь у апроксимації похідних.
4. Найбільшу точність забезпечують симетричні формули диференціювання з вибором точки відліку в середині діапазону значень аргументів на інтервалі [a,b], що використовується для обчислення відповідних значень функції.